管理問題通常涉及多個變數和限制條件，例如成本、利潤、效率、風險等。要找出最佳的解決方案，不僅需要邏輯思考和經驗判斷，也需要用數學模型來量化和分析問題。
實務案例：文創手工奢侈品
假設你是這家精品工廠的老闆，你需要決定生產兩種產品，澳門建築玉石雕(A) 和 中葡特色碎鑽飾品(B) 的數量，以最大化利潤。
每種產品的生產成本和銷售價格如(表1)：
| 產品 | 成本 | 售價 |
| A | $100 | $200 |
| B | $150 | $250 |
你的工廠有三個部門，分別是切割、鑄造和組裝。每種產品的生產過程需要消耗不同部門的不同時間，如(表2)：
| 產品 | 切割(分鐘/件) | 鑄造(分鐘/件) | 組裝 (分鐘/件) |
| A | 2 | 3 | 2 |
| B | 3 | 4 | 3 |
每個部門每天的工作時間是8小時，也就是480分鐘。你需要考慮每個部門的時間限制，以及市場對每種產品的需求限制。假設每天最多能銷售100件產品A和80件產品B。你應該如何安排生產計畫，才能使利潤最大化？
線性規劃：
為了解決這個問題，我們可以建立一個線性規劃模型，即一個由線性目標函數和線性限制條件組成的數學模型。我們首先定義兩個決策變數，分別表示每天生產產品A和B的數量如(表達式1)：
xA = 每天生產產品A的數量
xB = 每天生產產品B的數量
然後，我們根據題目的條件，寫出目標函數和限制條件。目標函數是利潤，即銷售收入減去生產成本，用數學公式表示為(表達式2)。
max Z = 100xA + 100xB
限制條件包括三個部門的時間限制和市場需求限制，用數學不等式表示為(表達式3)：
2xA+3xB ≤ 480(切割部門的時間限制)
3xA+4xB ≤ 480(鑄造部門的時間限制)
2xA+3xB ≤ 480(組裝部門的時間限制)
xA ≤ 100(產品A的需求限制)
xB ≤ 80(產品B的需求限制)
另外，我們還需要加上非負條件，即決策變數不能為負數，用數學不等式表示為(表達式4)：
xA ≥ 0
xB ≥ 0
用 Python 求得最優解：
有了數學模型，我們就可以用數學方法來求解最優解，即使目標函數達到最大值的決策變數的取值。線性規劃模型的求解方法有很多，例如單純形法、圖解法、內點法等。在這裡，我們使用Python語言來求解這個模型。詳見 Python 代碼(圖1)。
這意味著，要使利潤最大化，每天應該生產 100件澳門建築玉石雕(A) 和 45件中葡特色碎鑽飾品(B)，這樣每天可以獲得 $14,500的利潤(圖2)。這就是數學模型和方法幫助我們解決管理問題的一個例子。
管理問題是一種複雜的問題，需要用科學的方法來分析和求解。數學模型是一種有效的工具，可以幫助我們將抽象問題和量化。
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